Ростислав Чебыкин

Теорема невежества

Неуместность толкований теоремы Гёделя за пределами математики

Эйлер, пользуясь тем, что Дидро совершенно не знал математики, встал и, глядя на своего оппонента, замогильным голосом произнёс: «A в квадрате минус B в квадрате равно A минус B, умноженному на A плюс B. Следовательно, бог существует».

Рэймонд Смаллиан. Как же называется эта книга?

Люди часто упоминают теорему Гёделя, понятия не имея о том, что это такое. По мнению одного блогера, из неё следует существование бога, по мнению другого — его несуществование. А третий блогер, когда его попросили обосновать одно из своих утверждений про политику, ответил: «Если бы ты знал теорему Гёделя, то понял бы, что я не обязан тебе ничего доказывать».

Курт Гёдель, математик родом из Австро-Венгрии, на рубеже 1920–1930-х годов доказал несколько важных теорем математической логики. Когда говорят про «теорему Гёделя», чаще всего имеют в виду самую известную из них — вторую теорему о неполноте. Статья Гёделя с этой теоремой была впервые опубликована в 1931 году в австрийском журнале «Ежемесячник математики и физики» («Monatshefte für Mathematik und Physik»). В оригинале теорема формулируется так:

Satz XI: Sei ϰ eine beliebige rekursive widerspruchsfreie Klasse von Formeln, dann gilt: Die Satzformel, welche besagt, daß ϰ widerspruchsfrei ist, ist nicht ϰ-beweisbar; insbesondere ist die Widerspruchsfreiheit von P in P unbeweisbar, vorausgesetzt, daß P widerspruchsfrei ist (im entgegengesetzten Fall ist natürlich jede Aussage beweisbar).

Вот перевод:

Теорема XI. Если ϰ — произвольный рекурсивный непротиворечивый класс формул, тогда пропозициональная формула, которая утверждает, что ϰ непротиворечив, не является ϰ-доказуемой; в частности, непротиворечивость системы P недоказуема в P, при условии, что P непротиворечива (в противном случае, разумеется, любое высказывание доказуемо).

Если некоторые слова кажутся вам знакомыми — скорее всего, вы обознались. Например, слово «непротиворечивость» (Widerspruchsfreiheit) употребляется не в том смысле, что в бытовой речи, а в строго определённом значении, а именно: Wid(ϰ) ≡ (Ex) [Form(x) & Bewϰ(x)]. «Доказуемость» (Beweisbarkeit) тоже не имеет отношения к доказательствам из повседневной жизни, вроде «докажи, что ты не трус».

Поистине, надо иметь чрезвычайно богатую фантазию или особо психоактивные вещества, чтобы из этой теоремы выводить существование бога, ограниченность человеческого познания или смысл жизни. Теорема всего лишь описывает свойства некоторой формальной математической конструкции, которую Гёдель назвал «системой P». «Непротиворечивость» и «доказуемость» относятся к этой конкретной системе, а не к науке в целом или основам мироздания.

Теоремы Гёделя, как и «система P», сыграли огромную роль в математике и косвенно повлияли на развитие вычислительной техники. Однако это не повод высасывать из них шумные заключения в области философии, биологии, социологии, религии или эзотерики. Так можно дойти до того, чтобы на основании теоремы Пифагора судить о внеземных цивилизациях, а из формул сокращённого умножения выводить превосходство монархической формы правления.

Подобно теореме Гёделя, в популярной культуре сплошь и рядом мистифицируются другие известные научные достижения, в том числе машина Тьюринга, кошка Шрёдингера и принцип неопределённости Гейзенберга. Дурные блогеры засоряют мозги себе и читателям и вредят настоящему прогрессу науки и техники, благодаря которому у них вообще есть блоги.