Охота к перемене мест

Нас учат грамматике, наполняют головы наши словами и правилами, коих мы не понимаем. Нас мучат начальными правилами языков, а часто и наук, кои нам никогда полезны не будут.

Александр Радищев. О предметах закона

«От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Это правило школьники зубрят в первом классе, когда большинству ещё не приходит в голову задуматься над его содержанием. Между тем, оно попросту бессмысленно — то есть не отражает никакого математического факта.

В самом деле, что такое «перемена мест»? Что такое эти «места» с математической точки зрения и в чём заключается «перемена»? Мы меняем местами символы на бумаге, с помощью которых обозначаем слагаемые. Но с таким же успехом мы можем не менять их местами, а, например, покрасить в другой цвет. И вывести новое математическое правило: «От цвета слагаемых сумма не меняется». А можно записать цифры другим почерком или другим пишущим инструментом. Каждая такая модификация даст новое правило о том, от чего не меняется сумма. Почему из бесчисленного множества этих правил упоминание в учебниках заслужил именно «переместительный закон»?

Когда я учился в первом классе, мы осваивали арифметику с помощью счётных палочек. Сложение чисел 5 и 7 я демонстрировал так: на дне коробки из⁠-⁠под настольной игры сложил две кучки палочек — из 5 и 7 штук. Затем я наклонил коробку, и обе кучки съехали в угол, образовав общую кучку из 12 палочек:

После этого я спросил учительницу: где в таком сложении «места» слагаемых и как показать их «перемену»?

Учительница, подумав, ответила, что «перемена» будет, если положить каждую из кучек на место другой:

Это предложение не выдерживало критики, потому что нет никакого объективного критерия, чтобы проверить, действительно ли одна кучка лежит на месте другой. На картинке я «переложил» их на глаз, чтобы показать, что имела в виду учительница. Однако не вводить же это в качестве математического определения: «кучки считаются поменявшими места, если на глаз кажется, что каждая из них лежит на месте другой».

Учительница не поняла моих объяснений, поэтому я предложил другой вариант: допустим, мы каким⁠-⁠то неведомым образом научились класть каждую из кучек на место другой, и это изображает перемену мест слагаемых. Но тогда сделаем так: одну из кучек положим на место другой, а другую — в какое⁠-⁠то вообще новое место:

И как интерпретировать эту конфигурацию? Перемена мест одного из двух слагаемых? Частичная перемена мест? Чем с математической точки зрения такое расположение отличается от двух предыдущих, а также от остальных бесчисленных способов разместить две кучки счётных палочек на дне коробки?

Учительница выпала в прострацию, одноклассники благодарили меня за сорванный урок.

Похожая ситуация — с «сочетательным законом»: (a + b) + c = a + (b + c). Чтобы проиллюстрировать его бессмысленность, я насыпал три, четыре или десять кучек палочек и, наклоняя коробку, складывал их все одновременно.

Такие демонстрации показывали, что можно одним махом сложить сколько угодно чисел, не устанавливая между ними никакого порядка или группировки. Это и значит, что этот самый порядок не относится к математическому смыслу сложения — так же, как не относится цвет или почерк, которым записаны слагаемые.

Получается, что школьная арифметика путает математические сущности с формой их описания. Когда мы описываем сложение русским языком или арифметическими выражениями, то приходится указывать слагаемые в каком⁠-⁠нибудь порядке — таковы ограничения языка. Но стоит выбрать другой язык — например, язык моих демонстраций с палочками — и никаких «мест слагаемых» вообще не возникает.

У людей каша в голове оттого, что в начальной школе эту кашу прививают на уроках математики, хотя этот предмет, казалось бы, призван учить правильному мышлению.

Почему первоклассникам скармливают именно такую кашу про «перемену мест»? Чтобы разобраться, придётся сунуться в «большую» математику. Где⁠-⁠то в начале теории множеств рассматривают понятие упорядоченной пары: это конструкция, которая состоит из двух элементов с указанием, какой из них считать первым, а какой вторым. Пара обычно обозначается (A, B), где A — первый элемент, B — второй. То есть, (A, B) и (B, A) — это две разные пары, а не два способа обозначить одну и ту же сущность.

Теперь заглянем в высшую алгебру, где появляется понятие бинарной операции. Это «машинка», которая принимает на вход упорядоченную пару и даёт на выходе одно значение. Например, бинарная операция может взять два числа и выдать их среднее арифметическое. А другая операция может взять две геометрические фигуры и выдать разность их площадей.

Некоторые бинарные операции обладают тем свойством, что для всякой пары (A, B) результат получается таким же, как для пары (B, A). Такие операции называются коммутативными. Например, пусть A и B — шахматисты, а операция даёт количество партий, которые A и B сыграли друг с другом. Её результат не зависит от того, в каком порядке следуют элементы пары. Но бывают и некоммутативные операции. Скажем, пусть A и B — текстовые строки, а операция заключается в том, чтобы приписать B справа к A. Тогда эта операция над парой (КОЛЬ, ЦО) даёт строку КОЛЬЦО, а над парой из тех же элементов в обратном порядке — строку ЦОКОЛЬ.

Если рассматривать пары обычных чисел, а в качестве операции взять арифметическое сложение, то правило про «перемену мест» имеет в высшей алгебре точный смысл: оно утверждает, что бинарная операция сложения является коммутативной. Однако за этот смысл приходится расплачиваться тем, что изначально понимать 2 + 3 и 3 + 2 как два разных сложения, потому что (2, 3) и (3, 2) — две разные упорядоченные пары.

С «сочетательным законом» похожая ситуация: у него тоже есть точный смысл в понятиях высшей алгебры, но ради этого смысла приходится договариваться, что (a + b) + c и a + (b + c) — две разные сущности.

Из бинарных операций вырастает теория групп — важный раздел науки, который славится многовековой историей и мириадами приложений от кристаллографии до машинного обучения. Почти все области современной математики пересекаются с теорией групп. Поэтому она глубоко проникла в подкорку авторов школьных учебников. Авторы неосознанно переносят в учебники элементы высшей алгебры, при этом упрощая их до такой степени, что теряется всякий смысл. Порядок и группировка слагаемых вводятся только затем, чтобы немедленно объявить «правила» о том, что они не имеют значения.

По⁠-⁠моему, если они не имеют значения, то про них не стоит говорить с самого начала. Мои модели со счётными палочками показывают, что процедура сложения прекрасно обходится вообще без какого⁠-⁠либо порядка или группировки слагаемых. Просто не надо отождествлять это сложение с бинарной операцией из теории групп.

Как же тогда увязать школьное сложение со «взрослой» математикой? Научное мировоззрение, которое формально господствует в системе образования, не допустит, чтобы элементарная арифметика вообще не опиралась на серьёзную науку.

В поисках опоры временно переместимся от операции сложения к понятию суммы. Большинство людей, включая профессоров математики, чаще встречают сумму не в учёных трудах, а в документах вроде такого:

Какие качества суммы можно увидеть в этом примере? Во⁠-⁠первых, она характеризует всё множество покупок сразу, а не их порядок или группировку. Часто нас даже не интересует точный список товарных позиций (не говоря уже о том, в каком порядке они перечислены в этом списке), а интересует только общая стоимость товаров.

Во⁠-⁠вторых, минимальное количество покупок, для которого можно подсчитать «Итого», составляет один предмет. Школьное сложение начинается с двух слагаемых, в то время как сумма бывает и в случае одного.

На этом месте профессиональные педанты заподозрят, что я подменяю понятия. Они скажут, что слово «сумма» обозначает именно результат операции сложения, а если её нет (например, когда в чеке один товар), то ни о какой сумме нельзя говорить.

Хорошо, давайте вернёмся к демонстрации со счётными палочками и будем рассматривать величину «общее количество палочек в коробке». Эта величина всегда существует независимо от того, на сколько кучек разложены палочки, сколько палочек в каждой кучке и даже есть ли палочки в коробке. Числовое значение этой величины не зависит от того, выполняем ли мы вообще сложение или какую⁠-⁠то ещё операцию, чтобы найти это значение. И если кучек больше одной, то общее количество палочек в точности совпадает с числом, которое педанты назовут арифметической суммой количеств палочек во всех кучках.

На мой взгляд, это повод называть «общее количество» попросту суммой. Однако если вам это по⁠-⁠прежнему кажется перегрузкой терминологии, то придумайте сами подходящий термин и заменяйте на него слово «сумма» далее в этой статье.

Теперь я собираюсь определить понятие суммы натуральных чисел так, чтобы оно:

• было математически строгим,
• не использовало порядка или группировки слагаемых,
• было универсальным для любого конечного количества слагаемых, начиная с 0,
• описывало саму сумму как математический объект, а не процедуру для её вычисления.

Сначала разберёмся, что такое натуральные числа. Будем понимать их как конечные ординалы:

• 0 = ∅,
• 1 = {0} = {∅},
• 2 = {0, 1} = {∅, {∅}},
• 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

и так далее. То есть каждое натуральное число — это множество, причём его мощность (количество элементов) равна этому самому числу.

Набор слагаемых тоже хотелось бы представить как множество, однако возникает загвоздка: все элементы множества должны быть различными, но в сумму могут входить несколько одинаковых слагаемых (как, например, цены соусов в чеке).

Однако в нашем распоряжении есть упорядоченные пары, о которых я уже упоминал. Представим каждое слагаемое как пару натуральных чисел: первый элемент пары равен самому слагаемому, а второй показывает, сколько раз это слагаемое встречается в сумме. Например, в чеке слагаемое 130 встречается один раз, поэтому ему будет соответствовать пара (130, 1), а слагаемое 19 встречается два раза и представляется парой (19, 2).

Теперь скажем, что набор слагаемых — это множество, составленное из всех таких пар. Например, набор 3, 13, 8 — это множество {(3, 1), (13, 1), (8, 1)}. Набор 7, 7, 7 — это множество из одной пары {(7, 3)}. Множество для чека из фастфуда постройте сами. Такие конструкции иногда называются мультимножествами.

После того как со слагаемыми всё понятно, попробуем перейти к их сумме. Вот общая идея: превратим слагаемые в попарно непересекающиеся множества так, чтобы мощность каждого множества была равна самому слагаемому. Тогда сумма будет мощностью объединения этих множеств. Как говорится, следите за руками.

Шаг 1. Каждое слагаемое представляется парой чисел. Однако сами числа — это множества, а значит, над ними можно выполнять операции из теории множеств. Поставим в соответствие каждой паре декартово произведение её компонентов. Например, пара (3, 1) = ({0, 1, 2}, {0}), и произведение {0, 1, 2} × {0} — это множество {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}. Произведение из пары (7, 3) даст множество из 21 элемента.

Так мы добились того, что каждому слагаемому соответствует множество нужной мощности. Но эти множества пока могут попарно пересекаться, поэтому сделаем ещё один шаг.

Шаг 2. Рассмотрим любое множество X, полученное на предыдущем шаге. Возьмём любой его элемент x и поставим ему в соответствие пару (x, X). Если проделать это с каждым элементом каждого множества, то в итоге мощности множеств не изменятся, но все множества будут попарно непересекающимися. (Если хотите, докажите это сами.)

Шаг 3. Наконец рассмотрим объединение всех множеств, полученных на предыдущем шаге, и возьмём мощность этого объединения. Арифметически она в точности равна сумме всех слагаемых. Собственно, вот вам и вуаля.

Для педантов могу предложить формальное определение суммы в соответствии с перечисленными шагами:

Пусть A — конечное множество пар натуральных чисел. Тогда сумма A есть |⋃S|, где

S = {s: s = {(x, X): x ∈ X, X = m × n, (m, n) ∈ A}}.

Это не единственно возможное определение суммы. На шаге 1 можно было не рассматривать декартовы произведения, а, наоборот, «рассыпать» каждое слагаемое в множества из одного элемента так, чтобы количество множеств равнялось тому самому слагаемому. Если сделать так, чтобы все множества попарно не пересекались, мы снова получим сумму как мощность их объединения. Не сомневаюсь, что вы сами придумаете ещё десятки альтернативных определений.

Итак, у нас есть вполне научное определение суммы натуральных чисел в терминах чистой теории множеств, и мы не используем операцию сложения из высшей алгебры. Для первоклассников это определение благополучно упрощается до «общего количества счётных палочек в коробке».

В силу этого определения сумма однозначно определяется набором слагаемых. На языке, доступном младшим школьникам: если в коробке лежат счётные палочки, то их общее количество тоже есть уже сразу — независимо от того, каким способом мы будем его вычислять и будем ли вообще.

Этот факт избавляет нас от бестолковых правил вроде «от таких⁠-⁠то вещей сумма не меняется». Когда мы понимаем сумму как результат процедуры сложения, то можно предположить, что если выполнять процедуру как⁠-⁠нибудь по⁠-⁠разному, то — мало ли — вдруг и результаты получатся разные. По крайней мере, так бывает с другими процедурами, которые знакомы школьникам из повседневного опыта. Поэтому и объявляются специальные правила: нет, как ни складывай — результат будет одним и тем же.

Но если, наоборот, понимать сумму как «общее количество», а сложение — как один из методов его вычисления, то всё встаёт на свои места. Общее количество счётных палочек в коробке существует само по себе как математический факт, а не как результат наших действий. Поэтому утверждение о том, что это количество от чего⁠-⁠то «меняется» или «не меняется», несёт не больше смысла, чем скажем, утверждение о том, что «не меняется» число 7 или прямой угол.

Теперь, когда мы знаем, что такое сумма, можно ставить вопрос о том, как её вычислить. Прежде всего, не стоит отвергать метод прямого пересчёта, когда все палочки ссыпаются в одну кучку и затем пересчитываются по одной.

Хоть этот способ и примитивен, он вполне востребован в реальной жизни. Например, когда мы с приятелями скидываемся деньгами на вечеринку, то сдаём в общий фонд «от каждого по возможностям». Потом кто⁠-⁠нибудь из нас пересчитывает собранную сумму целиком, не отслеживая, сколько внёс каждый в отдельности.

Ну, и если, наконец, говорить о том, как вычислять сумму с помощью арифметических действий, то я бы начал с того, что сумма из одного слагаемого равна самому этому слагаемому. (Докажите это сами через определение.) Любой первоклассник согласится, что даже если в коробке всего одна кучка счётных палочек, то общее количество палочек в коробке всё равно существует, и его можно посчитать.

А когда слагаемых больше одного, то возникает много разных технических приёмов вычисления суммы в зависимости от того, сколько у нас слагаемых и каковы они. (Сумму 1 + 1 мы будем считать не так, как

«Переместительный закон» в этом случае перестаёт быть фундаментальной аксиомой. Он тоже становится свойством некоторых процедур сложения и доказывается через то же определение. Арифметические выражения a + b и b + a задают один и тот же набор слагаемых, сумма однозначно определяется набором слагаемых — следовательно, a + b = b + a. «Сочетательный закон» докажите сами.

Из всего этого получается телеологический вывод. Если преподносить ученикам сначала операцию сложения, а потом сумму как результат этой операции, то создаётся представление, будто процедура первична, а её результат — вторичен. «Давайте выполним такие⁠-⁠то действия и посмотрим, что из этого получится». Но если мы ставим сумму на первое место, а методы её вычисления — на второе, то задача формулируется иначе: «Нужно получить такой⁠-⁠то результат. Давайте поймём, какие действия для этого требуются, и выполним их».

Я убеждён, что второй подход конструктивнее в большинстве жизненных ситуаций — от научных исследований до домашнего хозяйства. Для тех, кто ориентируется на процедуру, вымыть пол означает привычными движениями повозить шваброй по ламинату. Но те, кто нацелен на результат, видят задачу в том, чтобы пол стал чистым.

Процедурное мышление проявляется и в образовании, когда работники этой сферы считают, будто их миссия — отбарабанить плановые учебные часы и провести положенные экзамены. Однако настоящие учителя ставят своей целью добиться, чтобы ученики овладели ценными знаниями и умениями.