Шершавым языком Евклида

Ein alter französischer Mathematiker hat gesagt: Eine mathematische Theorie ist nicht eher als vollkommen anzusehen, als bis du sie so klar gemacht hast, daß du sie dem ersten Manne erklären könntest, den du auf der Straße triffst.

David Hilbert. Mathematische Probleme (1900)

Говорят, чем современнее математика, тем труднее её понять. Математику времён Евклида и Пифагора проходят в средней школе, математика Эйлера и Гаусса доступна большинству студентов, а вот недавнее доказательство Перельмана мало кто способен осилить. Все знают, что он отказался от миллиона долларов, но никто не может объяснить, за что конкретно ему предлагали этот миллион.

Между тем, во времена Евклида его труды понимали только избранные, а разработки Гаусса и сам Гаусс не до конца понимал, поэтому много писал «в стол» и не торопился публиковать свои работы.

Возможно, я скажу крамольную вещь, за которую меня побьют котангенсами, но я убеждён, что гипотеза Пуанкаре (которую как раз и доказал Перельман) по смыслу не сильно сложнее теоремы Пифагора. Вся разница — в концепциях и обозначениях, которыми мы описываем этот смысл.

Вот, например, как Евклид около 300 года до нашей эры формулировал одну идею:

Если будет сколько угодно последовательно пропорциональных чисел и от второго и последнего будут отняты <числа>, равные первому, то будет, что как остаток второго к первому, так и остаток последнего ко всем ему предшествующим <вместе>.¹

Неподготовленному читателю сложно понять, о чём тут речь. Между тем это всего лишь словесная формулировка суммы первых членов геометрической прогрессии, которую изучают в школе. Точнее, Евклид показывает, что если числа a₁, a₂, …, a⁠n являются n первыми членами прогрессии, то выполняется соотношение:

А от этого ровно один шаг до школьной формулы суммы членов прогрессии от a₁ до an.

У древних греков не было алгебраических формул, поэтому Евклид записывал теоремы словами, а доказывал геометрическими построениями, отождествляя каждое число с отрезком соответствующей длины.

Похожие проблемы были у Аль⁠-⁠Хорезми в IX веке нашей эры:

Один квадрат и десять корней того же составляют тридцать девять дирхемов; иными словами, каков должен быть квадрат, который, будучи увеличенным на десять своих собственных корней, даёт тридцать девять? Решение таково: возьми половину от числа корней, что в этом примере даёт пять. Это умножь на само себя; произведение есть двадцать пять. Добавь это к тридцати девяти; сумма есть шестьдесят четыре. Теперь возьми корень от этого, который есть восемь, и вычти из него половину числа корней, что есть пять; остаётся три. Это корень квадрата, что ты искал; сам квадрат есть девять.²

Так персидский математик описывает решение уравнения x² + 10x = 39. Аль⁠-⁠Хорезми не знал общего способа решения квадратных уравнений, поэтому в книге «Китаб аль⁠-⁠джебр ва⁠-⁠ль⁠-⁠мукабала» он разобрал великое множество частных случаев. Также он не был знаком с отрицательными числами, поэтому не нашёл второй корень уравнения −13. Наконец, Аль⁠-⁠Хорезми объявил окончательным результатом не корень уравнения (в современном понимании), а квадрат этого корня.

В наши дни сами квадратные уравнения остались теми же, но универсальный способ их решения умещается на половине страницы и понятен восьмиклассникам.

Итак, сами по себе математические факты не меняются со временем. Смысл пятого постулата Евклида или теоремы Гёделя остаётся одним и тем же навечно. Но насколько легко понять эти факты — зависит от того, каким языком они изложены. Числа удобнее воспринимать, когда они записаны цифрами, а не словами; знаки вроде + или × облегчают работу с арифметическими операциями. Концепции отрицательных величин, нуля, множества или предела последовательности упрощают прежние рассуждения и открывают новые возможности. Современное доказательство Великой теоремы Ферма теоретически можно пересказать в понятиях времён Ферма или даже Архимеда, но тогда оно станет настолько объёмным и мудрёным, что никакой Перельман его не освоит.

Математический язык традиционно отстаёт от мысли. Учёные формулируют новые факты, пользуясь старыми концепциями и обозначениями. И только потом — иногда через несколько столетий или тысячелетий — кто⁠-⁠нибудь догадывается: а ведь это всё станет проще и понятнее, если ввести такую⁠-⁠то абстракцию и использовать такие⁠-⁠то значки.

При этом новшества в языке приживаются с огромным скрипом. Даже в XVII веке Блез Паскаль отказывался признавать отрицательные числа. Теорию множеств Георга Кантора в конце XIX века поносили нехорошими словами Кронекер и тот же Пуанкаре, отчего Кантор тронулся умом и вместо математических фактов начал доказывать, что пьесы Шекспира на самом деле написал Фрэнсис Бэкон.

Математический анализ в вузах — типичный пример области, которая страдает от устаревшего языка. Интуитивно понятные идеи вроде непрерывности, экстремумов или асимптот излагаются на громоздком языке «эпсилон-дельта», который придаёт рассуждениям математическую строгость, но отягощает понимание.

В 1960⁠-⁠х годах американский математик Абрахам Робинсон предложил так называемый нестандартный анализ. В нём, кроме действительных чисел, рассматриваются бесконечно малые величины, которые «по модулю» меньше любого действительного числа и при этом не равны нулю. Это напоминает шарлатанство, однако таким же шарлатанством когда⁠-⁠то казались отрицательные числа, не говоря уж о комплексных.

У новой числовой структуры есть не менее строгое математическое обоснование, чем у системы действительных чисел. В нестандартном анализе все теоремы классического матана выводятся на одном дыхании и выглядят гораздо изящнее, чем на языке XIX века. Тем не менее студенты вузов до сих пор штудируют, что «для любого ε > 0 найдётся такое δ, что для всех n > N…». Часто за этими предельными плясками не удаётся разглядеть суть теоремы.

Надеюсь, что всё⁠-⁠таки придёт время, когда математический анализ будут формулировать и изучать на простом языке. Может быть, таким языком станет нестандартный анализ Робинсона, а может, в будущем придумают ещё более элегантные концепции и обозначения. Тогда фрагменты из нынешних учебников можно будет приводить в следующих редакциях этой статьи наряду с цитатами Евклида и Аль⁠-⁠Хорезми.

Я не говорю, что всю математику можно и нужно сделать понятной для любого человека. Но я убеждён, что людей со способностями и интересом к математике не стоит вынуждать спотыкаться о неуклюжий язык и продираться через дебри допотопных обозначений. Талантливые школьники и студенты тратят на это время и силы, которые могли бы потратить на доказательство гипотезы Римана или решение проблемы равенства классов P и NP.

Глядишь, когда⁠-⁠нибудь на обычных уроках математики будут доказывать Великую теорему Ферма и гипотезу Пуанкаре. Если вам это кажется невероятным — подумайте, как в Древней Греции отнеслись бы к идее о том, что дети в общеобразовательных школах могут изучать иррациональные числа. По легенде, Пифагор убил одного из своих учеников именно за такое предположение.

1. Книга IX, предложение 35. Цитируется по: Начала Евклида. Книги  VII⁠–⁠X. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.⁠–⁠Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949, с. 97.
2. Цитируется по: The Algebra of Mohammed ben Musa. Edited and translated by Frederic Rosen. London, 1831, p. 8. Перевод с английского мой.